개념
플로이드-워셜 알고리즘은 가중치 그래프에서 모든 최단 경로를 구하는 알고리즘입니다. 한 번 실행하여 모든 노드 간 최단 경로를 구하는데 이때, 최단 경로를 찾기 위해 DP(동적 프로그래밍) 방식을 사용합니다.
[ 🤔 다익스트라와의 차이점? ]
다익스트라 : 하나의 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 거리
- 시작점으로 부터 나머지 정점까지 최단거리 구할 때 사용
- 음의 가중치 간선이 있으면 사용하지 못 함
프로이드-워셜 : 한 번 실행해 모든 노드 간 최단 경로
- 각 정점간 최단 경로 구할 때 사용
- 음의 가중치 간선에서 사용 가능
✔ 시작점으로부터 각 정점까지 최단 거리만 구할 때 → 다익스트라
✔ 간결한 소스코드, 간선 수가 많을 떄 → 플로이드-워셜
[ 알고리즘 응용 ]
- 최단 경로 찾는 방향 그래프
- 실수 행렬의 반전 찾기
- 무방향 그래프 이분법인지의 여부 테스트
알고리즘 과정
목표 : 모든 정점 사이의 최단 경로 구하기
[ 1. 입력받은 그래프와 동일한 2차원 인접 행렬로 선언해 초기화 ]
해당 그래프를 5X5 2차원 인접 행렬로 변경해 i 정점에서 j 정점까지의 간선의 가중치를 입력합니다.
💡 INF = 해당 정점에서 특정 정점까지 길이 없음을 나타냅니다.
[ 2. INF의 값을 채울 수 있도록 중간 정점 선택 ]
이제, INF의 값을 채울 수 있도록 정점들을 연결해 줘야 합니다. 간선으로 연결되어 있지 않은 정점들은 중간정점을 통해 정점 간의 가중치를 구할 수 있습니다.
위의 그래프는 1정점과 3정점이 연결되어 있지 않기 때문에 중간 정점(2정점, 4정점)을 선택해 1 → 중간정점 → 3 이렇게 연결합니다.
모든 정점들은 중간 정점으로 사용할 수 있기 때문에 총 5번(정점의 개수)의 계산이 수행되어야 합니다.
- 1 → 중간정점(2) → 3 = 4
- 1 → 중간정점(4) → 3 = 6
2정점을 중간정점으로 거치는 가중치의 값이 이 더 작으므로 가중치 4가 행렬에 들어감
이때, 위와 같이 중간정점이 여러개 일 경우에는 최단 거리를 구하는 알고리즘이기 때문에 행렬에 있는 값보다 계산된 값이 더 작으면 계산된 값으로 변경해줍니다.
[ 3. 모든 INF 값을 채우고 난 후 최단 거리 ]
5정점까지 중간정점으로 선정 후 계산을 마치면 행렬에는 모든 정점 간 최단 거리가 들어가게 됩니다.
시간 복잡도 및 빅오 표기
O(n³)
구현 with JAVA
import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;
class AllPairShortestPath
{
final static int INF = 99999, V = 4;
void floydWarshall(int graph[][])
{
int dist[][] = new int[V][V];
int i, j, k;
for (i = 0; i < V; i++)
for (j = 0; j < V; j++)
dist[i][j] = graph[i][j];
for (k = 0; k < V; k++)
{
for (i = 0; i < V; i++)
{
for (j = 0; j < V; j++)
{
if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
}
}
}
}
public static void main (String[] args)
{
int graph[][] = { {0, 5, INF, 10},
{INF, 0, 3, INF},
{INF, INF, 0, 1},
{INF, INF, INF, 0}
};
AllPairShortestPath a = new AllPairShortestPath();
a.floydWarshall(graph);
}
}출처
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